Использование возможностей интерактивной среды «1С:Математический конструктор» для построения графиков обратных функций (на примере построения графика функции y = arcsin x)

В школьном курсе математики изучается немало взаимно обратных функций, например: y = x² при  и др., которые зачастую достаточно сложно воспринимаются учениками. Чтобы помочь учащимся, при рассмотрении обратных функций в первую очередь важно обратить их внимание на то, что не всякая функция обратима. Например, функция y = x² не является обратимой на всей своей области определения, но она может быть обратимой на некотором участке.

В курсе алгебры и начал анализа доказывается теорема о том, что если функция y = f(x) монотонна на некотором промежутке, то она на этом промежутке обратима. Функция y = sin x не является монотонной на всей своей области определения. С помощью инструментов «Математического конструктора» построим сначала функцию y = sin x, причём можно на оси абсцисс отложить значения с π, а на оси ординат – обычный единичный отрезок (рис.1):

Рисунок 1. График функции y = sin x.

После установления немонотонности, а следовательно, необратимости функции y = sin x на всей области определения этой функции выделим промежуток, ближайший к нулю, на котором эта функция возрастает, т.е. рассмотрим эту функцию при  Для этого, кликнув на название функции «Голубой прямоугольник», выберем «Свойства объекта» и укажем приближённые ограничения для переменной x (рис. 2):

Рисунок 2. Установление ограничений для аргумента функции y = sin x.

На указанном отрезке функция y = sin x возрастает, значит, обратима. Вспомним, что графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y = x. При этом удобно на оси ординат перейти к единицам измерения в π. Строим эту прямую вручную, соединив точки (0,0) и (1; 1) по координатам (рис.3):

Рисунок 3. Добавление графика функции y = x.

Далее на панели инструментов найдем инструмент «Осевая симметрия» (рис. 4):

Рисунок 4. Выбор инструмента «Осевая симметрия».

Затем надо последовательно щёлкнуть правой кнопкой мыши на значок осевой симметрии, потом на нужный график и на прямую, нажать кнопку Enter, и программа построит график, симметричный данному относительно указанной прямой (рис. 5):

Рисунок 5. Построение графика функции, обратной y = sin x.

Учитель выполняет построение в «Математическом конструкторе», а ученики повторяют его действия в тетради.

Чтобы проверить правильность построения, можно выбрать на панели кнопку  и убедиться в том, что график полностью совпадает с тем, что был построен с помощью осевой симметрии (рис. 6):

Рисунок 6. График функции y = arcsin x.

Описанная последовательность шагов необходима для:

– закрепления в сознании учеников факта, что не всякая функция может быть обратимой;

– повторения этапов построения обратной функции;

– предоставления наглядного красивого изображения;

– распространения данного алгоритма для построения других обратных функций (например, y = arctg x, y = arcctg x).